sunnuntai 6. toukokuuta 2012

Goldbachin hypoteesi, osa 2

Menen suoraan asiaan. Mitä eroa on "alkuluvuilla" ja "tekijöillä"?

Nämä ovat alkulukuja:
2, 3, 5, 7, 11, 13...
Ja nämä tekijöitä:
Asetan vielä joukon lukuja jonoon niin, että alkuluvut jäävät alapuolelle ja tekijät merkitään yläpuolelle:
Tässä ei ole vielä mitään uutta tai ihmeellistä. Samat luvut voivat olla sekä alkulukuja että tekijöitä.

Monimutkaisemmaksi asia muuttuu vasta silloin, kun mietitään miten alkuluvusta tulee tekijä. Ja kun alkuluvusta on tullut tekijä, mikä muuttuu?

Nämä ovat meta-matemaattisia, filosofisia kysymyksiä, joita en ole kuullut kenenkään esittävän. Tuskin monikaan matemaatikko edes huomaa tässä mitään aihetta lisäkysymyksille tai lisäselvityksille.


Lukuteorian paradigmanvaihdos

Alkulukuja on tutkittu iät ja ajat. Niihin liittyy valtavasti lukumystiikkaa ja ne kiehtovat matemaatikkoja, koska niistä ei löydetä pysyviä säännönmukaisuuksia - ja kuitenkin ne näyttäisivät noudattavan tiettyjä periaatteita. Niissä ikään kuin on joku sääntö - mutta se sääntö on hämärä ja maaginen.

TEKIJÄT sen sijaan - niistä ei kukaan ole kiinnostunut. Tekijät ovat piece of cake. Tuskin monikaan suuri matemaatikko on ansioitunut niiden tutkijana.

Ja tässä juuri onkin koko ongelman ydin. Alkuluvut kiinnostavat, mutta tekijöistä ei pidetä mitään lukua. Ja kuitenkin avain alkulujen arvoitukseen piilee juuri tekijöissä: alkulukujen ja tekijöiden välisessä suhteessa: vuorovaikutuksessa, yhteistyössä ja keskinäisessä kamppailussa.

Kun tiedämme miten tekijät toimivat ja missä ne sijaitsevat, me sen jälkeen tiedämme kaiken oleellisen myös alkuluvuista, entisista ja tulevista, helposti käsitettävistä ja käsittämättömän suurista. Oikullisesti käyttäytyvien numeroiden mystillisyys haihtuu.

Lukuteoriassa on tapahtunut kömmähdys, joka on kestänyt jo vuosisatoja. Se ei liity metodiin vaan semanttiseen määrittelyyn. Matemaatikkojen mielessä elää skeema, joka ohjaa alkulukuja tutkivan mielen harhapoluille.

Kielellisten määrittelyjen pohjalta matemaatikot olettavat, että alkuluvut ovat rakennuspalikoita ja muodostavat aritmeettisia rakenteita, jotka voidaan ilmaista funktiolla - kunhan oikea funktio vain löydetään. Alkuluvut eivät kuitenkaan ole rakennuspalikoita, tekijät ovat. Alkuluku on eri asia kuin "tekijä". Ne pitää ajatella eri asioiksi ja vasta sitten homma etenee.

Alkuluku ei ole sääntö, vaan se on poikkeus. Alkuluku on aukkokohta, ei rakennuspalikka. Tämän näkökulman oivaltaminen johtaa lukuteorian paradigmanvaihdokseen.


Semanttisia uudelleenmäärittelyjä

Kyse on semantiikasta, kielellisten käsitteiden määrittelystä. Viettoman tuntuiset mielikuvat saavat ongelmia pohtivan älykkään ihmisen kääntymään oikealle, kun pitäisi kääntyä vasemmalle. Ajattelussa ei tapahdu loogista virhettä, mutta monta ratkaisevaa yksityiskohtaa jää näkemättä.

Matemaatikot lähestyvät alkulukuja monimutkaisten funktioiden avulla. Esimerkiksi John Derbyshire, joka on kirjoittanut teoksen Alkulukujen lumoissa, on todellakin lumoutunut aiheesta. Hänen päänsä on pyörällä. Hän ei ymmärrä alkuluvuista enää hölkäsen pöläystä.

Ja nyt en tarkoita, ettei hän ymmärtäisi mitään matematiikasta. Hän tietää kyllä suuren määrän alkuluku-tutkimuksen tuloksia. Hän on tarkkaillut alkulukuja ja tietää niiden vaikutuksista - hieman kuten kemisti, joka tietää miten mikäkin aine reahoi toisen aineen kanssa - mutta hän ei ymmärrä alkulukuja. Ne ovat hänelle mysteeri.

Kyse on hieman samanlaisesta tilanteesta kuin painovoima fysiikassa. Kaikki kyllä tuntevat painovoiman vaikutuksia ja sitä voi tutkia empiirisesti - mutta kukaan ei osaa selittää miten painovoima toimii. Painovoima tunnetaan, mutta sitä ei ymmärretä. Sama juttu lukuteoriassa: alkuluvut tunnetaan, mutta niitä ei ymmärretä.

Väitän, että me voimme oppia ymmärtämään alkulukuja. Se on minun pitkän kirjoitussarjani päätarkoitus. Me alamme ymmärtää alkulukuja vasta sen jälkeen, kun opimme ymmärtämään tekijöitä. Se voi tuntua tylsältä, koska tekijät tunnetusti ovat tylsiä - mutta ei auta ruikuttaa.


Uudet Legot

Määtitelmiä riittää, sen voin luvata. Aluksi muutamia tekijöiden tyyppejä, mutta älkää säikähtäkö:

Tunnettu tekijä = Jäsen tekijämatriisin nollakohdassa. Tunnetut tekijät täytyy aina määritellä tilannekohtaisesti - mutta niiden säännönmukaisuudet voidaan ennustaa äärettömyyteen asti, vaikka niitä olisi määritelty kuinka suuri joukko tahansa. Kätevyyden ja ymmärrettävyyden takia tulen käyttämään matriiseja, joissa on vain 3-4 tunnettua tekijää.

Varteenotettava tekijä = suurempi tai yhtäsuuri kuin alkuluvun neliö / kääntäen: tutkittavan alueen neliöjuurta pienempi alkuluku, mutta suurempi kuin tunnetut tekijät. (Itse asiassa myöhemmin selitän miten varteenotettavat tekijät selittävät logaritmia alkulukulausekkeessa.)

Puuttuva tekijä = Uusi alkuluku. Tekijämatriisin aukkokohta, joka ei limity suuremman matriisin, eli varteenotettavien tekijöiden kanssa.

Tekijäkokelas = Alkuluvusta tulee varteenotettava tekijä, kun se on kohdannut kaikki itseään pienemmät alkuluvut ja kohtaa itsensä. Tämä tapahtuu aina kohdassa "alkuluku potenssiin kaksi".

Potenssin ja neliöjuuren toimiminen määriteltyjen termien rajakohtana on välttämätöntä, mihin palaan myöhemmin. Kun ymmärrämme syyn, ymmärrämme myös miksi alkulukulause turvautuu logaritmiin. Asiaa ei tarvitse matemaattisesti enää edes todistella, koska ymmärrämme sen semanttisesti - niin kuin ymmärrämme mansikan ja sitruunan välisen eron.

Kaikkia näitä käsitteitä ei tulla tarvitsemaan vielä, joten määrittelyistä ei kannata hämmentyä. Etenen hitaasti ja yritän muistaa kaiken oleellisen. Kuten aiemmin totesin, minun olisi pitänyt kirjoittaa näistä asioista jo vuosi sitten. Jotkin asiat ovat sen jälkeen hieman kirkastuneet, mutta toisten muistaminen taas vaatii suurempaa ponnistelua.


Esimerkkitutkimus tekijöistä

Asiat siis alkoivat valjeta, kun siirsin huomioni alkuluvuista tekijöihin. Suunnittelin lukuisia eri kokeita ja asetelmia tekijöitä koskevan tiedon lisäämiseksi. Suurin osa ei tietenkään johtanut mihinkään uuteen oivallukseen.

Suurin tekijöiden eroavaisuus alkulukuihin nähden on se, että tekijöistä voi löytää säännönmukaisuuksia, ja muotoilla yleistettäviä lakeja. Pelkästään tekijöitä tarkastelemalla voi hahmottaa monia hyvinkin kauniita kuvioita. Tekijät muodostavat lumihiutaleiden ja hämähäkinseitin kaltaisia rakenteita. Ne ovat nimensä mukaisesti kykeneviä insinöörityöhön ja uurastavat väsymättömästi - toisin kuin alkuluvut, joita ei millään saa liikkeelle. Alkuluvut pitävät taukoja milloin lystäävät ja sitten taas ryöppyävät ovesta sisään juuri kun niitä ei olisi kaivattu.

Monet tekijöitä koskevat havaintoni ovat Goldbachin hypoteesin näkökulmasta epäolellisia, ja toiset taas olisi mahdotonta esittää tässä käyttöjärjestelmässä. Seuraava esimerkki on valittu lähinnä käytännön syistä. Se ei ole juuri nyt oleellinen osana todistusta. Mielestäni se on kuitenkin yksinkertaisuudessaan kaunis, ja havainnollistaa tekijöiden säännönmukaisuutta suhteessa alkulukuihin.
Yllä on siis esitettynä lukujana "kaksi potenssiin n". Koska kyseessä on luvun kaksi moninkertaisesta tulosta, me voimme jakaa sen kahteen osaan - koska sen tekijänä on luku 2. Esimerkiksi, jos kyseinen luku 2n olisi 8 --> 2 x 2 x 2, (n = 3), sen puolessa välissä potenssin arvo olisi n-1, eli 22 = 4. Jos se jaettaisiin kahtia, saataisiin 2, sitten 1. Jos N olisi suurempi, lukujana jakautuisi tietenkin pienempiin osiin, jotka kaikki olisivat kahdella jaollisia kokonaislukuja. Tällä kertaa meitä ei kuitenkaan kiinnosta mikä arvo on luvulla N. Me tutkimme vain tekijöitä.

2n On sama asia kuin  2 x 2n-1. tai 2 x 2 x 2n-2... Tästä me voimmepäätellä, että janan puolivälin ja lopun välissä on  luku 3 x 2n-2... ja tämä pätee kuinka suurilla N:n arvoilla hyvänsä. Olemme siis pysyvästi paikallistaneet myös toisen tekijän, luvun 3.
Voimme tehdä saman myös luvulle 5 - tai mille tahansa alkuluvulle, jonka haluamme paikallistaa. Vaikka emme tiedä luvun "kaksi potenssiin n" tarkkaa arvoa, me voimme paikallistaa siitä muutkin tekijät, myös ne jotka eivät sisälly varsinaiseen lukuun.

Kuten jo aiemmin sanoin, tekijöiden tunteminen on avain. Kun me tunnemme tekijät ja tiedämme miten ne käyttäytyvät, me voimme löytää myös alkuluvut!



PS. Ehkä jo huomasitkin, että yllä oleva kaavio muodostaa yksnkertaisen fraktaalin, eli loputtomasti itseään toistavan kuvion. Kuitenkaan tekijät eivät vielä yksinään muodosta kovin monimutkaisia ja koristeellisia fraktaaleja. Niitä syntyy vasta kun yhdistämme tekijät alkulukuihin, eli huomioimme tunnettujen tekijöiden ohella myös muut tekijätyypit.

PPS. Kyseinen kaavakuva ei ole "matriisi", joista oli puhetta aiempana. Seuraavassa osassa esittelen tekijämatriisin ja selitän miten sen avulla löydämme alkulukuja. Lisäksi selitän alkulukuparien käyttäytymistä.

Neljännessä osassa toivon mukaan ehtisin jo ensimmäiseen varsinaiseen todistukseen, jossa osoitan, että alkulukupareja todellakin on loputon määrä. Se on yksi ongelmista, joita kukaan matemaatikko ole vielä kyennyt todistamaan - vaikka tietenkin oletuksen pätevyydestä vallitsee hyvin vahva yleinen arvio.


Ei kommentteja:

Lähetä kommentti